Question

数列的极限的问题

已知无穷等比数列{an}的首相为a，公比q>0,设这个数列的前n项和为Sn，记Tn=a1+a3+a5+…+a(2n-1),求n→∞lim（Sn/Tn）的值

Answer 1

解：（1）若q等于1时，各项是常数a,Sn=Tn,其比的极限为1.
若q不是1时
Sn=a(1-q^n)/(1-q)
Tn=a(1-q^(2n))/(1-q^2)
Sn/Tn=(1+q)/(1+q^n)
当 0〈q < 1时, 则n→∞，lim（Sn/Tn）= 1+q
当q > 1时, 则n→∞lim（Sn/Tn）= 0
综上，n→∞lim（Sn/Tn）的值，按q的值等于1，小于1，大于1依次为1，1+q,0.

小结：等比数列求和一定要注意公比是否等于1。求和公式只适合公比不是1时。

Answer 2

Sn=a(1-q^n)/(1-q)

Tn=a(1-q^(2n))/(1-q^2)

Sn/Tn=a(1+q)/(1+q^n)

如果 q < 1, 则n→∞lim（Sn/Tn）= a(1+q)
如果 q > 1, 则n→∞lim（Sn/Tn）= 0

Answer 3

1/(1+q)