Question

已知a>0,b>0,a+b=1,求证[a+(1/a)][b+(1/b)]≥(25/4)

最好能用简单的方法

Answer 1

本题需要用到基本不等式和函数的单调性，证明结果如下：

首先从已知条件有1=a+b≥2√(ab)，即√(ab)≤1/2即ab≤1/4，当且仅当a=b=1/2时成立。
不等式左边展开=ab+b/a+a/b+1/(ab)=ab+1/(ab)+b/a+a/b
其中b/a+a/b≥2√(b/a*a/b)=2，当且仅当a=b=1/2时成立。
而另一部分ab+1/(ab)是自变量ab的函数，由于我们之前已经分析出ab≤1/4，故此函数在ab≤1/4的范围内单调递减，因此ab+1/(ab)≥1/4+1/(1/4)=17/4，此时a=b=1/2
综上，ab+1/(ab)+b/a+a/b≥17/4+2=25/4，等号在a=b=1/2时取到，证毕！

Answer 2

(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0<ab≤1/4
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2