Question

已知，a,b,c是锐角三角形ABC三个内角A,B,C的对边，p=（a+c,b-c）,q=（b,a-

已知，a,b,c是锐角三角形ABC三个内角A,B,C的对边，p=（a+c,b-c）,q=（b,a-c）p平行q
1.求A
2.若a=2,求b-c的取值范围

Answer 1

解：

1.

p∥q，则(a-c)/b=(b-c)/(a+c)

整理，得b²+c²-a²=bc

由余弦定理得：

cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2

A为三角形内角，A=π/3

2.

三角形为锐角三角形

C=π-A-B=π-π/3 -B<π/2

B>π/6，又B<π/2，因此π/6<B<π/2，同理，π/6<C<π/2

B最大，无限接近π/2时，C最小，无限接近π/6，b-c最大

B最小，无限接近π/6时，C最大，无限接近π/2，b-c最小

由正弦定理得：a/sinA=b/sinB

a=2，A=π/3代入

令B=π/2，得b=asinB/sinA=2·sin(π/2)/sin(π/3)=2·1/(√3/2)=4/√3

令B=π/6，得b=asinB/sinA=2·sin(π/6)/sin(π/3)=2·(1/2)/(√3/2)=2/√3

2/√3<b<4/√3，同理，2/√3<c<4/√3

2/√3-4/√3<b-c<4/√3-2√3

-2/√3<b-c<2/√3

-2√3/3<b-c<2√3/3

b-c的范围为(-2√3/3，2√3/3）

Answer 2

解：（1）∵P平行q
∴（a+c）（a-c）=b（a-c）
a²-c²=b²-bc
b²+c²-a²=bc
∴cosA=（b²+c²-a²）/2bc=1/2
∵△ABC为锐角三角形
∴A=60°
（2）b²+c²-a²=bc经变形得到b²+c²=4+bc
（b-c）²=4-bc

运用基本不等式2bc≤b²+c²
可以先解bc，b+c或者直接变形求解b-c，
你可以试着解一下
有关于b+c的求法
(b+c)^2=4+3bc,
4bc<=(b+c)^2,
则，
(b+c)^2=4+3bc<=4+ 3/4 * (b+c)^2,
即，|b+c|<4,
-4=<b+c<=4
（b-c的求法类似→运用基本不等式）