Question

非线性方程组数值解法的正文

Answer 1

n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为

(1)
式中ƒi(x1,x2,…,xn)是定义在n维欧氏空间R 的开域D上的实函数。若ƒi中至少有一个非线性函数，则称(1)为非悄逗线性方程组。在R 中记

ƒ=
　　
则(1)简写为ƒ(尣)=0。若存在尣∈D，使ƒ(尣)=0，则称尣为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣的迭代序列{尣}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其启卜卖中最著名的是牛顿法。
非线性方程组数值解法 - 牛顿法及其变形 牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：

(2)
式中

是ƒ(尣)的雅可比矩阵,尣是方程(1)的解尣的初始近似。
这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣算到尣的步骤为:①由尣算出ƒ(尣)及

;②用直接法求线性方程组

的解Δ尣；③求

。
由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和 n个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。
为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率

作为衡量标准,其中P为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值ƒi及偏导数值

的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W 内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义，牛顿法(2)的效率为

。
牛顿法有很多变形,如当

奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即

式中I是单位矩阵。牛顿法是局部收敛方法,因而对初始近似尣限制较严，为放宽对尣的要求,扩大收敛范围,通常可引进松弛因子ωk，得到牛顿下降法：

(3)
式中ωk的选择应使

成立。
为减少解线性方程组次数，提高效率，可使用修正牛顿程序

(4)
这种算法也称为萨马斯基技巧，它的收敛阶为 p =m+1，由尣 计算

的工作量为W =n+mn，于是该法的效率

。当n=10,m=7时,

当n=100,m=37时,

，由此看到修正牛顿法(4)比牛顿法效率高，且m 越大效果越明显。
在计算机上往往采用不计算偏导数的弊滚离散牛顿法，即

(5)
式中

，
其中ej为基向量,

,若取

，则(5)仍具有2阶收敛速度。其效率与牛顿法相同。
若在牛顿法(2)中解线性方程组不用直接法,而采用迭代法则得到一类解非线性方程组的双重迭代法。按解线性方程组采用的方法不同就得到不同名称的迭代法，如牛顿－赛德尔迭代法，牛顿－SOR迭代法，牛顿－ADI迭代法，等等。这些方法都具有超线性收敛速度，工作量也比牛顿法大，除了对某些特殊稀疏方程组外，通常用得校少。若将解线性方程组迭代法的思想直接用于非线性方程组(1)，然后把(1)化为一维方程求解，可得到另一类双重迭代法，由于采用的迭代法与解一维非线性方程的方法不同，则得到不同的双重迭代法。如果利用SOR迭代法后再用牛顿法解一维方程则得SOR－牛顿迭代法，在牛顿法中只计算一步而不进行迭代，则得一步的SOR－牛顿迭代，其计算公式可表示为

式中记号嬠iƒi表示

；ω为迭代参数，当ω=1时就是赛德尔-牛顿迭代法,这类方法对解维数高的稀疏的非线性方程组是有效的。