Question

求极限 lim(n->∞)[(2^n+3^n)/n]^(1/n)

参考答案是 3

还有几个做此题中遇到的问题

例如lim(n->∞)(7^n+6^n+5^n+...+2^n+1)^(1/n)=7,它的依据是用主部替换吗？可是7^n,6^n,5^n...它们不是同阶的吗，这样替换是不是有点不保险？

还有就是lim(n->∞)n^(1/n)=1怎么证明

因为我刚开始学微积分，所以请在必要的地方尽量讲详细些，谢谢！
先更正一个错误，7^n,6^n,5^n...貌似它们不是同阶的。

谢谢superegoMVP，你的意思我理解了。我的上个问题好像就是你回答的，缘分啊。

我的专业是经济学，好像我们学的数学是C等的，所以许多内容不如《高等数学》上讲得详细，希望你能给出 lim(n->∞)n^(1/n)=1 的证明，谢谢。

Answer 1

这个问题很简单，用夹逼法即可；2^n+3^n大于3^n小于2倍的3^n，而分母n的1/n
次方的极限为1，分子夹在3^n的1/n次方与（2倍的3^n）的1/n次方，而这两个极限皆为3，因为2的1/n次方极限为1；所以第一题应该没有问题了；

同理下面的一样，因为任意常数a的1/n次方极限为1，都是通过夹逼的方法算出来的；

对于你说的lim(n->∞)n^(1/n)=1怎么证明的问题，书上写过，限于篇幅，你再看下书，我学的书是数学分析，与高等数学类似，但是较难些，你的书不知道是哪个版本，不过也应该有这个证明，如果还有不懂可以再问，谢谢

Answer 2

我来给出lim(n->∞)n^(1/n)=1 的证明
首先设f（x）＝x^(1/x)，然后先求
lim(x->∞)Inf（x）
＝lim(x->∞)Inx/x
＝0
所以lim(x->∞)f（x）＝e^0＝1
则lim(n->∞)n^(1/n)=1