Question

极坐标下，二重积分如何变换积分次序……我到现在都没搞懂，求学霸详解，要有例题，谢谢

Answer 1

一般场合，极坐标系下二重积分的计算，都是遵循先ρ后θ的形式，少数场合需要交换次序的时候，按下面步骤来：

(1)先按先ρ后θ的次序写好。

(2)再把关于ρ和θ的区域直接转换成直角坐标系。

按照直角坐标系下交换积分次序的方法完成。

比如，区域为x²+y²≤x；

极坐标系下先ρ后θ的积分区域表示成-π/2≤θ≤π/2；

0≤ρ≤cosθ；

然后，建立以θ为横坐标，ρ为纵坐标的直角坐标系，区域变成由ρ=cosθ (-π/2≤θ≤π/2)和θ轴围成的区域，改变积分次序后，变成0≤ρ≤1-arccosρ≤θ≤arccosρ这样就可以了。

二重积分：

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

Answer 2

一般场合，极坐标系下二重积分的计算，
都是遵循先ρ后θ的形式，
少数场合需要交换次序的时候，按下面步骤来
(1)先按先ρ后θ的次序写好，
(2)再把关于ρ和θ的区域直接转换成直角坐标系，
按照直角坐标系下交换积分次序的方法完成。

比如，区域为
x²+y²≤x
极坐标系下先ρ后θ的积分区域表示成
-π/2≤θ≤π/2
0≤ρ≤cosθ
然后，建立以θ为横坐标，ρ为纵坐标的直角坐标系，
区域变成由
ρ=cosθ (-π/2≤θ≤π/2)和θ轴围成的区域，
改变积分次序后，变成
0≤ρ≤1
-arccosρ≤θ≤arccosρ
这样就可以了。

Answer 3

与直角坐标系下一样。但是微面积取法有区别：
微面积ds=ρdθdρ，一个细圆环上的一个微段。
比如，求ρcosθ在ρ≤1，θ=0~π/2的面积：
S=∫∫（D）ρcosθds
=∫∫（D）ρcosθρdθdρ
=∫（0,1）ρ²dρ∫（0，π/2）cosθdθ
=[ρ³/3]（0,1）×[sinθ]（0，π/2）
=(1/3)×1
=1/3