Question

均匀球面对其直径的转动惯量(高等数学)

Answer 1

可以求对于z轴的惯性矩，根据对称性，对任何直径的惯性矩都一样。

I=μ∫∫r²dS，r是dS到z轴的距离。
我们可以这样取dS，在竖向，将球面分成许多条带，每个条带的宽度相等，每个条带上每一点到z轴的距离都一样。设球心指向条带的半径与xOy平面夹角θ（纬度），上下对称，计算上面一半即可：
则r=Rcosθ，dS=Rdθ.2πr=2πR²cosθdθ
I=2μ∫（0，π/2）（Rcosθ）²2πR²cosθdθ
=4πμR^4∫（0，π/2）cos³θdθ
=4πμR^4∫（0，π/2）(1-sin²θ)dsinθ
=4πμR^4[sinθ-（sin³θ）/3]（0，π/2）
=4πμR^4[1-1/3]
=（8/3）πμR^4

追答

Answer 2

Answer 3