假设随机变量X和Y独立同分布,均服从标准正态分布,试证明:Z1=X+Y与Z2=X-Y相
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2016-11-03 · 知道合伙人教育行家
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∵X,Y独立,且服从标准正态分布,
∴(X,Y)~N(0,1;0,1;0)
【二维正态分布】
∴(X+Y,X-Y)也服从二维正态分布
且E(X²)=D(X)+E²(X)=1
E(Y²)=D(Y)+E²(Y)=1
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2
E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0
E[(X+Y)(X-Y)]
=E(X²-Y²)
=E(X²)-E(Y²)
=0
∴Cov(X+Y,X-Y)
=E[(X+Y)(X-Y)]-E(X+Y)·E(X-Y)
=0
∴Z1=X+Y,Z2=X-Y相互独立
∴(X,Y)~N(0,1;0,1;0)
【二维正态分布】
∴(X+Y,X-Y)也服从二维正态分布
且E(X²)=D(X)+E²(X)=1
E(Y²)=D(Y)+E²(Y)=1
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2
E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0
E[(X+Y)(X-Y)]
=E(X²-Y²)
=E(X²)-E(Y²)
=0
∴Cov(X+Y,X-Y)
=E[(X+Y)(X-Y)]-E(X+Y)·E(X-Y)
=0
∴Z1=X+Y,Z2=X-Y相互独立
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