等价无穷小什么时候不能用？
①被代换的量，在取极限的时候极限值不为0；
②被代换的量作为加减的元素时就不可以使用，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换。
无穷小相当于泰勒公式展开到第一项，基本什么时候都可以用，应用条件是:等价代换的需为整个式子的因子，而不能部分代换。
等价无穷小数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。
极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。
扩展资料：
柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定值就称为这个变量的极限。
其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是现在数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。
参考资料：等价无穷小_百度百科
第1，等价无穷小在加减法中不能使用，只能在乘除法中使用。
第2，你后面说的lim（x→x0）[f（x）±g（x）]=lim（x→x0）f（x）±lim（x→x0）g（x）
这个公式，有个前提（这个前提书上是有说明的，但是相当多的人，不在乎这个前提），那就是
lim（x→x0）f（x）和lim（x→x0）g（x）这两个极限都必须存在，即都必须是有限常数。
如果这两个极限中，至少有一个极限不存在（含极限是无穷大的情况），那么这个公式就不成立了。
而你后面拆分的两个极限，都是无穷大，所以不能使用lim（x→x0）[f（x）±g（x）]=lim（x→x0）f（x）±lim（x→x0）g（x）这个公式进行拆分，那么既然拆分是错误的，当然等价也是错误的了。
扩展资料：
等价无穷小的定义：设当 
例如：由于 
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件 ：
1 被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.
所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定值就称为这个变量的极限.
其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是现在数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。
参考资料：百度百科-等价无穷小
第2，你后面说的lim（x→x0）[f（x）±g（x）]=lim（x→x0）f（x）±lim（x→x0）g（x）
这个公式，有个前提（这个前提书上是有说明的，但是相当多的人，不在乎这个前提），那就是
lim（x→x0）f（x）和lim（x→x0）g（x）这两个极限都必须存在，即都必须是有限常数。
如果这两个极限中，至少有一个极限不存在（含极限是无穷大的情况），那么这个公式就不成立了。
而你后面拆分的两个极限，都是无穷大，所以不能使用lim（x→x0）[f（x）±g（x）]=lim（x→x0）f（x）±lim（x→x0）g（x）这个公式进行拆分，那么既然拆分是错误的，当然等价也是错误的了。
如 x->0: 2(e^x-1)/x - e^x = 2*x/x - 1 = 2 - 1 = 1
但是：x->0: (tanx - sinx)/x^3=(0-0)/0=0/0 这里就不能用sinx~x,tanx~x的等价无穷小了，因为0/0是未定式
对于你提出的问题我给你举一个例子
x->0: 1/x^2 - cosx/x^2 = 1/x^2 - 1/x^2 =0 ? 这样肯定是错误的
你要将一个极限拆成几个极限，那么这些极限都要求出确定的值，即不能为未定式
你的题目：(x->0) x/x^2(1+x) - (x->0) (1+x)x/x^2(1+x)=∞ - ∞ 是未定式，所以这里不能分成两个极限单独求解
乘除法、乘方的时候可以用
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