Question

请教大家一下第11题

Answer 1

解：
本题为1^∞型极限，这种极限首要考虑使用重要极限：lim(x→∞) [1+(1/x)]^x = e
所求极限式
={1+[2^(1/x) + 3^(1/x) -2]/2}^{2/[2^(1/x) + 3^(1/x) -2]}·{[2^(1/x) + 3^(1/x) -2]/2}·x
因此：
原极限
=lim(x→∞) e^ {[2^(1/x) + 3^(1/x) -2]/2}·x
=e^lim(x→∞) {[2^(1/x) + 3^(1/x) -2]/2}·x
=e^lim(x→∞) (1/2)·{[2^(1/x) + 3^(1/x) -2]/(1/x)}
=e^lim(x→∞) (1/2)·{[2^(1/x) -1]/(1/x)+[3^(1/x)-1]/(1/x)}
又∵
lim(x→∞) [2^(1/x) -1]/(1/x) 和lim(x→∞) [3^(1/x) -1]/(1/x)存在，因此：
原极限
=e^(1/2)·{lim(x→∞)[2^(1/x) -1]/(1/x) +lim(x→∞)[3^(1/x)-1]/(1/x)}
根据等价无穷小：2^(1/x) -1 ～ (ln2)/x，3^(1/x) -1 ～ (ln3)/x
∴
原极限
=e^(1/2)·(ln2+ln3)
=e^(ln6/2)