Question

当m为何值时,多项式x^2-y^2+mX+5y-6能分解因式,并分解此多项式

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Answer 1

解：多项式x^2-y^2+mX+5y-6能分解因式，由于二次项x^2-y^2=(x+y)(x-y)，而其它项均为一次项和常数项，因此多项式必能分解为：
x^2-y^2+mX+5y-6=(x+y+a)(x-y+b)
=x^2-y^2+a(x-y)+b(x+y)+ab
=x^2-y^2+(a+b)x+(b-a)y+ab
对号入座，应有：
a+b=m①
b-a=5②
ab=-6③
联立②③，有
(-a)+b=5
(-a)*b=6
所以-a和b是一元二次方程p²-5p+6=0的两个根，也即分别为2和3。
则m=a+b=b-(-a)=±1
当m=1时，-a=2,b=3，故
x^2-y^2+mX+5y-6=x^2-y^2+X+5y-6=(x+y-2)(x-y+3)
当m=-1时，-a=3,b=2，故
x^2-y^2+mX+5y-6=x^2-y^2-X+5y-6=(x+y-3)(x-y+2)

Answer 2

解：
令原式
=(x+y+a)(x-y+b)
=x²-y²+(a+b)x+(b-a)y+ab
得：
a+b=m①
b-a=5②
ab=-6③
解①②③联立的方程组，得：
a=-2,b=3,m=1或
a=-3,b=2,m=-1

Answer 3

x²-y²+mx+5y-6=x²+mx-（y²-5y）-6=x²+mx-（y-5/2）²+25/4-6=（x²+mx+1/4）-（y-5/2）²，所以当m=±1时可分解因式，当m=1时，原式=（x+1/2）²-（y-5/2）²=（x+1/2+y-5/2）（x+1/2-y+5/2）=（x+y-2）（x-y+3）
当m=-1时，原式=（x-1/2）²-（y-5/2）²=（x+y-3）（x-y+2）

Answer 4

当m=1时，x2-y2+x+5y-6=（x+y-2）（x-y+3）；
当m=-1时，x2-y2-x+5y-6=（x+y-3）（x-y+2）