Question

求数学大神，如何用待定系数法化简根号里还有根号的式子，如√（4-√15）这样的

求数学大神，如何用待定系数法化简根号里还有根号的式子，如√（4-√15）这样的我记得好像是先设4-√15=（a-b）²？

Answer 1

方法1：宽松法，易处理
4-√15
=(8-2√15)/2……将根号一项系数配成偶数
=(5-2√15+3）/2……将另一项适当拆分
=(√5-√3)^2/2……部分写成完全平方
=[(√10-√6)/2]^2……处理分母
方法2：严格法，较麻烦
4-√15=(√a-√b)^2=a+b-2√ab
a+b=4，ab=15/4
a、b为t^2-4t+15/4=0的两根
x1=3/2，x2=5/3
4-√15=[√(5/2)-√(3/2)]^2
=[(√10-√6)/2]^2

Answer 2

设4-√15=(√a-√b)^2,其中a,b是有理数，
∴4-√15=a+b-2√(ab),
∴a+b=4,a=4-b,①
4ab=15.②
把①代入② ，4（4-b)b=15,
整理得4b^2-16b+15=0,
b=5/2或3/2,
代入①，a=3/2或5/2，
∴√(4-√15)=√(5/2)-√（3/2）=（√10-√6)/2.