Question

设a,b c,d为常数,a<b<c<d，且函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)

则方程f'(x)=0有多少实根？

Answer 1

由已知:a<b<c<d,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)=0

由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0
即 f'(x)在(a,b)内至少有一个实根.
同理可得f'(x)在(b,c)、(c,d)内各至少有一个实根
综上得f'(x)至少有3个实根。
又f'(x)是一个3次多项式，得f'(x)=0最多有3个实根.
所以 f'(x)=0有3个实根.

希望能帮到你！