设一个函数f(x)泰勒展开后，求f(g(x))泰勒展开的话，把g(x)带入原展开式是正确解么？
例如f（x）=e^x,若求f（sinx）=e^sinx的泰勒展开，可以直接把sinx带入e^x的展开式么。...
例如f（x）=e^x,若求f（sinx）=e^sinx的泰勒展开，可以直接把sinx带入e^x的展开式么。
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1个回答
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这个要看具体情况，因为所谓的“Taylor展开”是有歧义的
比如说，如果是带Lagrange余项的有限项Taylor展开，那没什么问题
如果是带Peano余项的有限项Taylor展开，或者是无限项的Taylor展开（即Taylor级数），那就要考虑g(x)是否在使得该Taylor展开有意义的范围内
你举的例子是可以的，因为e^x收敛半径是+oo，不论哪种意义的展开都可以
但换个例子就未必，比如f(x)=1/(1-x)在x=0处展开，g(x)=20+sinx，这就明显不行
比如说，如果是带Lagrange余项的有限项Taylor展开，那没什么问题
如果是带Peano余项的有限项Taylor展开，或者是无限项的Taylor展开（即Taylor级数），那就要考虑g(x)是否在使得该Taylor展开有意义的范围内
你举的例子是可以的，因为e^x收敛半径是+oo，不论哪种意义的展开都可以
但换个例子就未必，比如f(x)=1/(1-x)在x=0处展开，g(x)=20+sinx，这就明显不行
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