Question

求过程，第四题的第二小题

Answer 1

lim(1^p+2^p+.n^p)/n^(p+1)
=lim(1^p+2^p+.n^p)/n^(p)*n
=lim[(1/n)^p+(2/n)^p+...+(n/n)^p]/n
=lim∑（i/n)^p*1/n (i=1,...n,n趋向无穷大) （1）
(k/n)^p换为 x^p
1/n换为 dx
这个式子可以等价于∫x^pdx 积分区间是[0,1]
取将积分区间分成n等分[xi-1,xi],每份为△xi=1/n ,让λ=1/n λ趋向0,相当于n趋向无穷大,然后取ξi=i/n
∫x^pdx=lim{λ趋向0}∑（ξi)^p△xi=lim{n趋向∞）∑（i/n)^p*1/n
等于（1）式
故表示成定积分为∫x^pdx 积分区间是[0,1]
∫x^pdx
=[x^(p+1)/(p+1)]|(0,1)
=1/(p+1).