Question

如图在三角形abc中，ab等于ac，以ab为直径的圆o交ac于点e，交BC于点d，连

如图在三角形abc中，ab等于ac，以ab为直径的圆o交ac于点e，交BC于点d，连结be、ad交于点p。求证：
（1）D是BC的中点；
（2）三角形BEC相似于三角形ADC；
（3）ab×ce＝2dp×AD.

第三问请使用相交弦定理证出来，第一二问就不需要大家做了。谢谢！！（谢绝复制粘贴。）

Answer 1

（3）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD（三线合一），
在△ADC和△BDP中，
∠ADC=∠PDB=90°，
∠CAD=∠CBE（同弧所对的圆周角相等），
∴△ADC∽△BDP（AA），
∴AD/BD=CD/DP，
∴DP×AD=BD×CD=CD²，
∵CA×CE=CD×CB（切割线定理）
CA=AB，CB=2CD
∴AB×CE=2CD²
∴AB×CE=2DP×AD

追问

可以用相交弦定理吗？就是用到DP×AP＝EP×BP（不一定是这个，另外的相交弦也可以）.
可以用吗？如果可以，麻烦再做一遍过程，谢谢！

追答

相交弦定理跟此题相差甚远，何必偏要用呢？