Question

大一高数～计算定积分

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Answer 1

第一个：x^3/(1+sin^2x)为奇函数，区间为对称区间，所以积分为0
只需要考虑∫cosx/(1+sin^2x)dx
＝∫dsinx/(1+sin^2x)
＝arctan(sinx)(-π/2,π/2)
＝2arctan(sinπ/2)

＝2arctan1
＝2×π/2
＝π

追答

第二个设x＝2sint
原式＝∫16sin^2tcos^2tdt
＝∫4(sin2t)^2dt
＝2(1-cos4t)dt
＝2t-1/2sin4t+C
其中t的范围是[0,π]

所以结果为2π

第三个
设√x＝t
x＝t^2，t范围为[0,3]
原式＝∫2 t^2/(t+1)dt
＝∫2(t-1)+2/(t+1)dt
＝ t^2-2t+2lnlt+1l+C
结果为3+4ln2

追问

第二题t的范围错了

追答

范围没错，因为x＝2sint≥0
所以[0,π]

应该是[0,π/2]