Question

已知实数a，b，c满足条件3（a²+b²)=4c（c≠0）求证直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1有两个交

上面是第一问求证
第二问求两交点的距离

Answer 1

解:
圆心到直线的距离d=|c|/根号(a^2+b^2)=根号3*|c|/|2c|<1(圆半径)
所以,直线与圆有二个交点.

a²+b²=4c²/3
y=-ax/b-c/b
过圆心作弦的垂线,垂线所在直线斜率为b/a,所以垂线所在直线为y=bx/a

两线交点bx/a=-ax/b-c/b,
x(b/a+a/b)=-c/b
x(b²+a²)/ab=-c/b
x=-ac/(a²+b²)=-3ac/4c²=-3a/4c
y=-bc/(a²+b²)=-3b/4c
交点(-3a/4c,-3b/4c)

半弦长的平方等于半径的平方减去垂线段的平方
1-[9a²/16c²+9b²/16c²]
=1-3(3a²+3b²)/16c²
=1-3/4
=1/4

所以半弦长为1/2,弦长为1

Answer 2

利用点到直线的距离公式d=|ax0+by0+c|/(a^2+b^2)[x0,y0为点的坐标]
直线到圆心的距离为：圆心为（0，0）
d=c/(a^2+b^2)=3/4<1
所以圆与直线有两交点

有勾股定理：D=2*(R^2-d^2)=√7/2