Question

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明存在一个ξ∈(a,b),使f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)=0

Answer 1

构造函数f(x)＝f(x)×e^(g(x))，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，由罗尔中值定理，存在一个ξ∈(a,b)，使f'(ξ)＝0，此即f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)＝0.

Answer 2

设函数F(x)=f(x)/e^x.F(x)在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，并且有F(a)=F(b)=0.则至少存在一点z属于(a,b),使得f'(z)-f(z)=0