Question

函数极限可以部分代入数值吗？例如lim x→0 f(x)/[x(x+1)]＝lim x→0 f(x)/x是否

函数极限可以部分代入数值吗？例如lim x→0 f(x)/[x(x+1)]＝lim x→0 f(x)/x是否成立？

Answer 1

一般来说，不允许这样部分代入。就算遇到相等的，那也只是巧合而已。
极限，是所有x同时趋近的结果，不能出现部分x先趋近，然后另一些x再趋近。
比方说这个极限
lim（x→0）x/x
很明显这个极限是1
但是如果我们采用先后代入的方法
先代入分子，再代入分母，就得到lim（x→0）x/x=lim（x→0）0/x=lim（x→0）0=0
先代入分母，再代入分子，就得到lim（x→0）x/x=lim（x→0）x/0=∞
这个事实就说明，部分先代入，部分后代入的做法，是不允许的。