三角形中位线的4种证明方法。 10
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)
∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立。
方法二:相似法:
∵D是AB中点
∴AD:AB=1:2
∵E是AC中点
∴AE:AC=1:2
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴BC=2DE,BC∥DE
方法三、坐标法:
设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半。
方法四、延长法:
延长DE到点G,使EG=DE,连接CG
∵点E是AC中点
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE
∴△ADE≌△CGE (S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
∵点D在边AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四边形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立。
三角形中位线的妙用:
初等平面几何中,有关三角形中位线的定理:“ 三角形的中位线平行于底边, 且等于底边的一半。”及“ 过三角线一 边的中点且平行于另一边的直线必过第三边的中点。” 在几何题的证明中应用十分广泛。
其原因是由于定理中有平行线出现 ,这样就产生了同位角、内错角、同旁内角等许多角之间的等量关系,又由于中位线等干底边的一半。 并且平分两腰,这样就出现了线段之间的等量关系。
更主要的是定理将角的等量关系与线段的等量关系有机地联系在 一起,因此这个定理在几何题的证明中,特别是在证明两直线平行或线段的等量关系或角的等量关系中,起着独特的作用,有时甚至非它莫许。
以上内容参考 百度百科-三角形中位线
2024-10-19 广告
方法一:过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)
∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
方法二:相似法:
∵D是AB中点
∴AD:AB=1:2
∵E是AC中点
∴AE:AC=1:2
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴BC=2DE,BC∥DE
方法三:坐标法:
设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半
方法4:
延长DE到点G,使EG=DE,连接CG
∵点E是AC中点
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE
∴△ADE≌△CGE (S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
∵点D在边AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四边形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立[2]
方法五:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3]
∴DE//BC且DE=BC/2