Question

“无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线单位长度上的电量为λ，求 轴线上一点的场强

Answer 1

结果为：λ/π²Rε

解题过程如下：

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积分公式主要有如下几类：

含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a2+x^2） （a>0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的积分。

含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

求积分的方法：

设是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

Answer 2

解题过程如下图：

记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

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常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

Answer 3

可以将这个无限长的半圆柱面看成是一个一个的宽度为dr的长直导线。可以得到这个无限长直导线的单位长度电荷密度为η=λdr /πR 每一个无限长直导线到中心轴的距离都是R。而且对于无限长直导线来讲，轴线上每一点都是其中垂线上的点。可以得到每一个长直导线在轴线上的电场为dE'=η/2πεR 带入η的值 可以得到dE'=λdr /2π²R²ε 又根据对称性，可以得到沿轴向切向的场强相互抵消，最终场强只是垂直与轴线向左。所以可以得到
dE=dE'cosφ ，从-π/2 到π/2积分 有 且有dr=Rdφ
E=∫ λdr /2π²R²ε cosφ=∫λdφcosφ /2π²Rε=λ/π²Rε 其中ε为介电常数