Question

概率论的应用题求解

一张试卷，一共100题，每题一分，A同学做能拿80分，B同学做也能拿80分，C同学做也能拿80分，现在将这张试卷的题目随机抽取A、B、C三名同学的答案填入，请问试卷的期望分比80分高还是比80分低？为什么？期望分为多少分？
补充：对于每一道题，A B C答案被抽中选用的概率相等，都是三分之一

Answer 1

问题很有意思，先说结论，期望都会是80分。

但随着关键条件表述上会有多种理解及说明过程。所谓的能拿80分是什么概念？

1. ABC三同学都是80题保证全对，20题一定做不对。那还有进一步更多细分情况，根据他们不会的题重合程度有两个极端，一个是他们不会的题完全相同，比如都是81-100题大家都做不对。那随机填答案结果很显然是80分。另一个极端是他们不会的题完全不同，比如A不会81-100题，B不会61-80题，C不会41-60题，那都会的题40分稳拿，剩余的60分题每题都是由2/3的概率做对，那么就是40+60*2/3=80分。

2. ABC三同学对于每一题都是80%的正确率，那只需要考证三选一的系统是否保持原系统的正确率就行，在各方正确率独立情况下，每一题的正确率即为选中ABC的概率与他们对应正确率的乘积和，就是1/3*0.8+1/3*0.8+1/3*0.8=0.8。那么在这样情况下，最后成绩的期望为80。

1和2之中仍有很多种中间情形，比如有些人是稳对一部分，一部分按正确率对，但期望分80分是不会变的，方差会变。