Question

设A,B均为n阶矩阵,下列关系一定成立的是 （AB

设A,B均为n阶矩阵,下列关系一定成立的是 （AB设A,B均为n阶矩阵,下列关系一定成立的是 （AB)2=A2B2 (AB)T=ATBT |A+B|=|A|+|B| |AB|=|BA|

Answer 1

证明：

因为A，B可逆，故A＾－1，B＾－1存在，AB可逆，

且有A＊＝｜A｜A＾－1，B＊＝｜B｜B＾－1．

故（AB）＊＝｜AB｜（AB）＾－1

＝｜A｜｜B｜B＾－1A＾－1

＝（｜B｜B＾－1）（｜A｜A＾－1）

＝B＊A

AB都是n阶矩阵，且AB＝0，

那么取行列式得到

｜AB｜＝｜A｜＊｜B｜＝0

所以显然A和B的行列式中至少有一个为0，

即矩阵A和矩阵B中至少有一个不可逆，

A＝

110

110

110

B＝

000

000

111

AB＝0，BA≠0。

扩展资料

n阶方阵A可逆充分必要条件：

A非奇异（非奇异矩阵就是对应的行列式不等于等于0的方阵）。

｜A｜≠0

r（A）＝n

A的特征值都不为0。

齐次线性方程组AX＝0仅有零解。

非齐次线性方程组AX＝b有唯一解。

A可表示成初等矩阵的乘积。

A等价于n阶单位矩阵。

A的列（行）向量组线性无关。

任一n维向量可由A的列（或行）向量组线性表示。

A的特征值都不为0。

Answer 2

只有第4个是成立的。根据矩阵乘法与行列式的关系有|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，中间一步是两个数字，所以可交换。
第一个不成立(AB)^2=(AB)(AB)=A(BA)B未必等于A(AB)B。第二个不成立是因为(AB)^T=(B^T)(A^T)。第三个不成立，随便写两个二阶方阵就是反例。

Answer 3

2，4成立

追问

第四个怎么成立

追答

只有4，我说错了，那位给的过程对的

Answer 4

咯努力了

追问

what