Question

cos平方A=sin平方B+cos平方C+sinAsinB

Answer 1

题目应为：在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若c=√3，求△ABC周长的取值范围．
解：（I）∵cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB，
∴1-sin²A=sin²B+1-sin²C+sinAsinB，
∴sin²A+sin²B-sin²C=-sinAsinB，
∴a²+b²-c²=-ab，
∴ cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=-1/2
又0<C<π，∴ C=2π/3
（Ⅱ）∵a/sinA=b/sinB=c/sinC，∴a=2sinA，b=2sinB，
则△ABC的周长L=a+b+c=2（sinA+sinB）+√3=2(sinA+sin(π/3-A))+√3
=2sin(A+π/3)+√3
∵ 0<A<π/3，π/3<A+π/3<2π/3，
√3/2< sin(A+π/3)≤1，
∴△ABC周长的取值范围是(2√3，2+√3]。