Question

设（X，Y）服从区域D=｛（x，y）|0<x<1，|y|<x｝上的均匀分布。求fx（x）

设（X，Y）服从区域D=｛（x，y）|0<x<1，|y|<x｝上的均匀分布。求fx（x）求详细过程

Answer 1

解：∵D={(x,y)丨0<x<1，-x<y<x}，∴D是y=x、y=-x、x=1围成的三角区域，其面积SD=1*2/2=1。

∴按照均匀分布的定义，（x,y）的密度函数为f(x,y)=1/SD=1，(x,y)∈D、f(x,y)=0，(x,y)∉D。

(1)，fX(x)=∫(-∞,∞)f(x,y)dy=∫(-x,x)dy=2x，其中0<x<1。fY(y)=∫(-∞,∞)f(x,y)dx=∫(0,1)dx=1，其中-1<y<1。

(2)，∵fX(x)*fY(y)=2x≠f(x,y)，∴X、Y不相互独立。

(3)，∵0<x<1，-x<y<x，∴0<x+y<2x，即0<z<2x，0<x<1。∴F(Z=z)=P(0<z<2x)。

∴由密度计算公式，有fZ(z)=F'(Z=z)=fX(z)*[dx/dz]=z/2，其中0<z<2。

扩展资料

均匀分布对于任意分布的采样是有用的。 一般的方法是使用目标随机变量的累积分布函数（CDF）的逆变换采样方法。 这种方法在理论工作中非常有用。 由于使用这种方法的模拟需要反转目标变量的CDF，所以已经设计了cdf未以封闭形式知道的情况的替代方法。 一种这样的方法是拒收抽样。

正态分布是逆变换方法效率不高的重要例子。 然而，有一个确切的方法，Box-Muller变换，它使用逆变换将两个独立的均匀随机变量转换成两个独立的正态分布随机变量。

Answer 2

解：∵D={(x,y)丨0<x<1，-x<y<x}，∴D是y=x、y=-x、x=1围成的三角区域，其面积SD=1*2/2=1。
∴按照均匀分布的定义，（x,y）的密度函数为f(x,y)=1/SD=1，(x,y)∈D、f(x,y)=0，(x,y)∉D。
(1)，fX(x)=∫(-∞,∞)f(x,y)dy=∫(-x,x)dy=2x，其中0<x<1。fY(y)=∫(-∞,∞)f(x,y)dx=∫(0,1)dx=1，其中-1<y<1。
(2)，∵fX(x)*fY(y)=2x≠f(x,y)，∴X、Y不相互独立。
(3)，∵0<x<1，-x<y<x，∴0<x+y<2x，即0<z<2x，0<x<1。∴F(Z=z)=P(0<z<2x)。
∴由密度计算公式，有fZ(z)=F'(Z=z)=fX(z)*[dx/dz]=z/2，其中0<z<2。
供参考。