Question

高数题，如图 求详细过程，跪谢跪谢

Answer 1

解：1题，属“∞/∞”型，用洛必达法则，k1=2lim(x→∞)[e^(2x)]/[1+e^(2x)=2。
2题，∵(sinx)^5dx=-(sinx)^4d(cosx)=-[(1-(cosx)^2]^2d(cosx)，
∴k2=-15[cosx-(2/3)(cosx)^3+(1/5)(cosx)^5]丨(x=0,π/2)=8。
3题，积分区域D={(x,y)丨-1≤x≤1，-1≤y≤x}，
∴k3=-3∫(-1,1)dx∫(-1,x)[y+yxe^(x^2+y^2)/2]dy。
而∫(-1,x)[y+yxe^(x^2+y^2)/2]dy=[(1/2)y^2+xe^(x^2+y^2)/2]丨(y=-1,x)=(1/2)(x^2-1)+xe^(x^2)-xe^(x^2+1)/2；在积分区间x∈[-1,1]，xe^(x^2)-xe^(x^2+1)/2是奇函数，其积分为0，∴k3=(-3/2)∫(-1,1)(x^2-1)dx=2。
4题，令y'-y=0，则dy/y=dx，y^*=ce^x。再设y=v(x)e^x，带入原方程，有v'(x)=(1-x^2)e^(-x)。对其积分，有v(x)=(x^2+2x+1)e^(-x)+C，∴y=(x+1)^2+ce^x。
又，f(x)=y是二次函数，∴c=0。∴k4=f(1)=4。
5题，将D={(x,y)丨y≤x≤π/6，0≤y≤π/6}转化成D={(x,y)丨0≤y≤x，0≤x≤π/6}，交换积分顺序，有k5=2∫(0,π/6)(cosx/x)dx∫(0,x)dy=2∫(0,π/6)cosxdx=2sinx丨(x=0,π/6)=1。