Question

二阶线性微分方程y''－y＝e的－x次方＋e的x次方的特解形式为（详情看图）

看图

Answer 1

求微分方程 y''-y=e^(-x)+e^x的通解。

解：齐次方程y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根：r₁=-1；r₂=1；

因此齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x；

设其特解为：y*=ax[e^(-x)+e^x]

则y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;

y*''=-ae^(-x)-a(1-x)e^(-x)+ae^x+a(1+x)e^x=(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x;

代入原式得：

(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x-ax[e^(-x)+e^x]=-2a[e^(-x)+e^x)=e^(-x)+e^x;

∴-2a=1，即a=-1/2；故特解为：y*=-(1/2)x([e^(-x)+e^x]

通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x-(1/2)x([e^(-x)+e^x]

简介

二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。

如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。

二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。

Answer 2

求为分方程 y''-y=e^(-x)+e^x的通解
解：齐次方程y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根：r₁=-1；r₂=1；
因此齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x；
设其特解为：y*=ax[e^(-x)+e^x]
则y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;
y*''=-ae^(-x)-a(1-x)e^(-x)+ae^x+a(1+x)e^x=(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x;
代入原式得：
(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x-ax[e^(-x)+e^x]=-2a[e^(-x)+e^x)=e^(-x)+e^x;
∴-2a=1，即a=-1/2；故特解为：y*=-(1/2)x([e^(-x)+e^x]
通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x-(1/2)x([e^(-x)+e^x].
【特解与齐次方程的特征方程的根有关，故先要求齐次方程的通解。】

Answer 3

k^2-1=0，得出k=1和-1
设特解为(Ax+B)e^(-x)+(Cx+D)e^x

Answer 4

Axe^(x)+Bxe^(-x)+Ce^x+De^(-x);
这是所谓的共振的情形！

Answer 5

简单计算一下即可，答案如图所示