Question

高等数学，有关三重积分对称性的问题！

计算三重积分时，是否有这样的规则：

当积分区域关于x轴对称，如积分区域是圆心为（1，0，0）半径是1的球，被积函数是f(x,y.z)。是否存在：当f(x.y.z)=f(x,-y,-z)时，原积分 = 4 * 第一卦限内的区域的积分 ……

我现在只知道，当积分区域关于xoy面对称，被积函数关于z是奇函数，则原积分为0，关于z是偶函数时，原积分=2* 积分区域是xoy上的积分
还有，当积分区域关于xoy yoz xoz都对称，被积函数又关于x，y，z都是偶函数，则原积分 = 8 * 积分区域是第一卦限内的积分。

关于三重积分的对称性计算我只知道以上两条，还有没有其他的？我是不是漏了一点？好像还有4倍的，而我现在只知道8倍和2倍的。如果我漏了，请各位告诉我还有什么情况可以用对称性求三重积分。谢谢！

Answer 1

用不着专门去记4倍、8倍的结论，有了2倍的结论，自然就很容易得到4倍、8倍的结论

三重积分的对称性：
区域D关于xoy面对称，xoy面上方部分为D1，若被积函数关于z是奇函数，则积分为0，被积函数关于z是偶函数，则D上积分=2* D1上积分
区域D关于yoz面对称，yoz面前侧部分为D1，若被积函数关于x是奇函数，则积分为0，被积函数关于x是偶函数，则D上积分=2* D1上积分
区域D关于zox面对称，zox面右侧部分为D1，若被积函数关于y是奇函数，则积分为0，被积函数关于y是偶函数，则D上积分=2* D1上积分

轮换对称性：
积分区域D关于坐标轴的轮换是对称性的（x变y，y变z，z变x时，区域不变），则
∫∫∫f(x,y,z)dV＝∫∫∫f(y,z,x)dV＝∫∫∫f(z,x,y)dV

比如D:x^2+y^2+z^2≤a^2，则有∫∫∫xdV＝∫∫∫ydV＝∫∫∫zdV＝0，∫∫∫x^2dV＝∫∫∫y^2dV＝∫∫∫z^2dV＝1/3∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV＝。。。。

Answer 2

当积分区域关于x轴对称，如积分区域是圆心为（1，0，0）半径是1的球，被积函数是f(x,y.z)。是否存在：当f(x,y,z)=f(x,-y,-z)时，原积分 = 4 * 第一卦限内的区域的积分 ……

“当f(x.y.z)=f(x,-y,-z)时”条件不对
应是“当f(x,y,z)关于y和z都是偶函数”
f(x,y,z)=f(x,-y,-z)只能说明函数关于x轴“中心对称函数”
我觉得在三重积分上，一般都不会采用直角坐标，所以对称方面不是很重要

Answer 3

我乱想下 啊，你 没算法思维，我 以前也 因这痛苦过，其实数学是 要抽象的，从来就这样，我 为 我和 你一样的 当年脸红，朋友，不要总联系图的 样子好吗？