二元二阶偏微分方程详细解法 20

答案在书上已经找到,我要的是详细的求解过程,以方便我理解及求解类似的题目,谢谢!若是公式录入打字麻烦,也可以手写答题过程,发个图片即可。... 答案在书上已经找到,我要的是详细的求解过程,以方便我理解及求解类似的题目,谢谢!
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crs0723
2018-01-29 · TA获得超过2.5万个赞
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这是一维热传导方程的初边值问题,可以用分离变量法求解
令t(x,τ)=X(x)*T(τ),代入方程,得:

X*T'=aT*X''
令-r=T'/aT=X''/X

则T'+raT=0,X''+rX=0,且X'(0)=0,-λX'(δ)=h[X(δ)-X(∞)]
当r<=0时,X(x)=C1*e^[√(-r)x]+C2*e^[-√(-r)x]
X'=√(-r)C1*e^[√(-r)x]-√(-r)C2*e^[-√(-r)x]
X'(0)=√(-r)C1-√(-r)C2=0,得:C1=C2
即X(x)=C*e^[√(-r)x]+C*e^[-√(-r)x]
X'=√(-r)C*e^[√(-r)x]-√(-r)C*e^[-√(-r)x]
-λ√(-r)C*{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]}=hC*{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]-∞}
等式左边为有界量,右边{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]-∞}为无穷量,所以C=0
所以X(x)=0
当r>0时,X(x)=C1*cos(√r*x)+C2*sin(√r*x)
X'=-C1*√r*sin(√r*x)+C2*√r*cos(√r*x)
X'(0)=C2*√r=0,得:C2=0
即X(x)=C*cos(√r*x)
X'=-C*√r*sin(√r*x)
λC*√r*sin(√r*δ)=hC*[cos(√r*δ)-cos(√r*∞)]
等式左边为定值,右边[cos(√r*δ)-cos(√r*∞)]为不定值,所以C=0
所以X(x)=0
综上所述,X(x)=0,即t(x,τ)=X(x)*T(τ)=0
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