Question

数列极限证明题，配合拉格朗日中值定理使用，跪求证法！！！

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Answer 1

你这个说的是第一问

Answer 2

这题不是应该用的单调有界定理么？和中值定理有什么关系。。。

追问

单调有界怎么证明啊？

追答

由不等式x≥ln(x+1),对任意x>-1恒成立可知
an=1+1/2+...+1/n-lnn

≥ln(1+1)+ln(1+1/2)+...+ln(1+1/n)-lnn
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+...+ln[(n+1)/n]-lnn
=ln[2*3/2*4/3*...*(n+1)/n]-lnn
=ln(n+1)-lnn>0
即{an}有下界0
取x=-1/(n+1)>-1,由上述不等式得

-1/(n+1)≥ln[1-1/(n+1)]=ln[n/(n+1)]
∴-1/(n+1)-ln[n/(n+1)]≥0
而an-an+1
=-lnn-1/(n+1)+ln(n+1)
=-1/(n+1)-[lnn-ln(n+1)]

=-1/(n+1)-ln[n/(n+1)]≥0
即{an}单调递减
由单调有界定理得{an}收敛

x≥ln(x+1)对任意x>-1恒成立可以用求导的方法证明