Question

求解线性代数

求解线性代数第一题的第二小题 和第二题

Answer 1

第1题
（1）α1可以由α2，α3，。。。αj线性表出
证明：
由于α1, α2，α3，。。。αm线性相关，则
存在一组不全为0的数，使得
k1α1+k2α2+k3α3+...+kmαm=0【1】
假设k1=0，则k2α2+k3α3+...+kmαm=0【2】
由于α2，α3，。。。αm，αm+1线性无关，则
α2，α3，。。。αm也线性无关，则
根据【2】，得知k2=k3=...=km=0
但这与k1,k2,...,km不全为0矛盾！
因此k1≠0
从而根据【1】，得知
α1=-(k2/k1)α2-(k3/k1)α3-...-(km/k1)αm
即α1可以由α2，α3，。。。αm线性表出
（2）αm+1不可以由α1，α2，α3，。。。αm线性表出
证明：假设αm+1可以由α1，α2，α3，。。。αm线性表出，
即存在常数使得，αm+1=j1α1+j2α2+j3α3。。。+jmαm
也即j1α1+j2α2+j3α3。。。+jmαm-αm+1=0【3】
而由（1）知，存在一组不全为0的数，使得
α1=-(k2/k1)α2-(k3/k1)α3-...-(km/k1)αm
代入【3】，得到
(j2-j1k2/k1)α2+(j3-j1k3/k1)α3+...+(jm-j1km/k1)αm-αm+1=0
但由于α2，α3，。。。αm，αm+1线性无关，则
所有系数都为0，但事实上αm+1的系数是-1，不为0，矛盾！
因此假设不成立，从而
αm+1不可以由α1，α2，α3，。。。αm线性表出