Question

《积分变换》Fourier积分第一节的这道例题，为什么间断点的值是1/2？

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Answer 1

我之前跟你也有同样的疑惑,我把我自己的解释跟你说一下～
首先积分公式中，对于间断点本来就是f(t。+0)+f(t。-0)再除2、你发的这个为什么是正负1，是因为有2个间断点一个在t=1和t=-1上，按积分公式一个是 f(1+0)+f(1-0)除2 一个是f(-1+0)+f(-1-0)除2 但是书上直接合着写了,是因为这两个式子等价都算出来等于1/2 ！
然后就是为什么两个式子都等1/2，首先你要知道这个例子傅立叶积分表达式，是一个连续的函数！波形是一个方波，但是原函数f(t)的图像不是一个方波! 可以看到少了两个竖条、比如“口”少了两竖条，就是“二” ，所以直接求出的积分表达式，是只有0<t<1的范围和t>1的范围内等价f(t)，那么算出来的积分表达式在间断点等于多少呢？ 书上积分公式也给出答案就是 f(t。+0)+f(t。-0)再除2 这就是积分表达式在间断点t。的值！
最后按公式求就行了，可是f(1+0)+f(1-0)不是等于f(1)+f(1)吗？那不就是1+1＝2……怎能算出1/2的？哈哈哈我之前也是被卡在这了……然后我想出这个f(t。+0)+f(t。-0)中的0表达的是亼t ！一个很小的差值亼t近似于0 ，那么现在看f(1+0)+f(1-0)就是f(1+亼t)+f(1-亼t)在f(t)图像中因为1+亼t是大于1所以f(1+亼t)=0，同理因为1-亼t是小于1所以f(1-亼t)=1 ，所以0+1再除2就是1/2！当t＝-1的时候也算出来为1/2！
最后讨论一下f(t。+0)+f(t。-0)再除2这个公式，因为算出来的傅立叶积分表达式，图像上来看是一个方波，两边竖线非常陡峭！但t。那个位置还是对应一个点，这点就是竖线的中点！这个中点的横坐标巳知为t。了，纵坐标按照中点的性质就f(t。+0)+f(t。-0)再除2！

Answer 2

(sinx)^4
= (sinx^2)^2
= ((1 - cos2x)/2)^2
= (1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4
= 0.25 - 0.5cos2x + 0.125(1 + cos4x)
= (cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8
∫ (sinx)^4dx
= ∫ ((cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8)dx
= ∫ ((cos4x)/8)dx - ∫ ((cos2x)/2)dx + ∫ (3/8)dx
= (1/32)∫ cos4xd4x - (1/4)∫ cos2xd2x + (3x/8)
= (sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C