怎么求当x趋向于π/2时,(sinx)^tanx的极限?

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sarah198781
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解:当u->0时 ,(1+u)^(1/u) -> e 

当x->π/2 时,令 u = sinx-1,u->0 

(sinx) ^ (tanx) = (1+ sinx-1) ^ (tanx) = (1+u) ^ {(1/u) * u * tanx }

lim(x->π/2) u * tanx 令 t = π/2 -x 
= lim(t->0) (cost - 1)/ tant 
= lim(t->0) (cost - 1)/ t = 0

故 lim(x->π/2) (sinx) ^ (tanx) = e^0 = 1

关于sin函数的知识延展:

  1. 简介:

    sin函数,即正弦函数,三角函数的一种。正弦函数是三角函数的一种。对于任意一个实数x都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数),而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx,这样,对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为y=sinx,叫做正弦函数。

  2. 锐角正弦函数:

    在直角三角形ABC中,∠C是直角,AB是∠A斜边,BC是∠A的对边,AC是∠B的对边。

    正弦函数就是sin(A)=a/c

    sinA=∠A的对边:斜边

  3. 正弦函数

    对于任意一个实数x都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数),而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx,这样,对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为y=sinx,叫做正弦函数。

  4. 性质:

    ① 图像:图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出),叫做正弦曲线(sine curve)

    ② 定义域:实数集R

    ③ 值域:[-1——1] (正弦函数有界性的体现)

    ④ 最值和零点:最大值:当x=2kπ+(π/2) ,k∈Z时,y(max)=1

    最小值:当x=2kπ+(3π/2),k∈Z时,y(min)=-1

    ⑤ 零值点: (kπ,0) ,k∈Z

    ⑥ 对称性:对称轴:关于直线x=(π/2)+kπ,k∈Z对称

    中心对称:关于点(kπ,0),k∈Z对称

    ⑦ 周期性:最小正周期:2π

    ⑧ 奇偶性:奇函数 (其图象关于原点对称)

    ⑨ 单调性:在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ],k∈Z上是增函数

    在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ],k∈Z上是减函数

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