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令x/4=t,则原式=∑(n=1→∞)nt^n
R=lim(n→∞)1/an^(1/n)=1/n^(1/n)=1
当t=±1时,nt^n都不是无穷小,∴级数发散
∴x/4=t∈(-1,1),x∈(-4,4)
∑(n=1→∞)nt^n=t∑(n=1→∞)nt^(n-1)
对∑(n=1→∞)nt^(n-1)从0到t积分,得∑(n=1→∞)t^n=-1+1/(1-t)
求导,得∑(n=1→∞)nt^(n-1)=1/(1-t)²
∴∑(n=1→∞)nt^n=t/(1-t)²
把t=3/4代入上式,算得lim(n→∞)n*(3/4)^n=12
R=lim(n→∞)1/an^(1/n)=1/n^(1/n)=1
当t=±1时,nt^n都不是无穷小,∴级数发散
∴x/4=t∈(-1,1),x∈(-4,4)
∑(n=1→∞)nt^n=t∑(n=1→∞)nt^(n-1)
对∑(n=1→∞)nt^(n-1)从0到t积分,得∑(n=1→∞)t^n=-1+1/(1-t)
求导,得∑(n=1→∞)nt^(n-1)=1/(1-t)²
∴∑(n=1→∞)nt^n=t/(1-t)²
把t=3/4代入上式,算得lim(n→∞)n*(3/4)^n=12
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