Question

不定积分问题！

不定积分问题！这种形式的不定积分怎么求，大神能多举几个例子最好，谢谢了

Answer 1

用待定系数法将被积函数化成部分分式，即设
2(1+t^2)^2/(1-t^2)^3 = (2+4t^2+2t^4)/[(1-t)^3(1+t)^3]
= A/(1-t) + B/(1-t)^2 + C/(1-t)^3 + D/(1+t) + E/(1+t)^2 + F/(1+t)^3

追问

然后嘞，这么求后AX*11消不去吧

追答

2(1+t^2)^2/(1-t^2)^3 = (2+4t^2+2t^4)/[(1-t)^3(1+t)^3]
= A/(1-t) + B/(1-t)^2 + C/(1-t)^3 + D/(1+t) + E/(1+t)^2 + F/(1+t)^3
= 分子/ [(1-t)^3(1+t)^3],
分子 = A(1-t)^2(1+t)^3 + B(1-t)(1+t)^3 + C(1+t)^3
+ D(1+t)^2(1-t)^3 + E(1+t)(1-t)^3 + F(1-t)^3
常数项是： A+B+C+D+E+F = 2
t 的系数是 ： A+2B+3C-D-2E-3F = 0
t^2 的系数是 : -2A+3C-2D+3F = 4
t^3 的系数是 : -2A-2B+C+2D+2E-F = 0
t^4 的系数是 : A-B+D-E = 2
t^5 的系数是 : A-D = 0
联立解得 A = D = 1/2, B = E = -1/2, C = F = 1
则 2(1+t^2)^2/(1-t^2)^3 = (2+4t^2+2t^4)/[(1-t)^3(1+t)^3]
= (1/2) [1/(1-t) - 1/(1-t)^2 + 2/(1-t)^3 + 1/(1+t) - 1/(1+t)^2 + 2/(1+t)^3]
I = (1/2) ∫ [1/(1-t) - 1/(1-t)^2 + 2/(1-t)^3 + 1/(1+t) - 1/(1+t)^2 + 2/(1+t)^3]dt
= (1/2) [ - ln|1-t| - 1/(1-t) + 1/(1-t)^2 + ln|1+t| + 1/(1+t) - 1/(1+t)^2] + C

追问

哦，我懂了，脑子短路

谢谢

Answer 2

追问

分子是x的平方！不是x

追答

是错了

推导出了