Question

高中函数/导数问题

已知a>0，f(x) = a x^2 - 2x + 1 + ln(x+1)，l是曲线y=f(x)在x=0处的切线，若l与曲线y=f(x)有且仅有切点这一个公共点，求a的值。
写在11月16日晚：

这个问题已经解决了，但很抱歉，我实在没办法把分给任何一方。各位的论辩实在激烈，我不想妄断。我首先澄清，下面所有发言者中，绝对不存在我自己。一楼和二楼都是我在现实世界中不认识的朋友。平心而论，一楼的回答是目前中国高中数学教学中较为广用的写法，单论对我写题的借鉴作用而言，一楼是较大的；然而二楼的回答，对于我这个高中生确然也有很大的新意，虽然存在着没有特异性地处理“有且仅有一个公共点”的“仅有”二字的缺陷（这应该归结于题目数据的设计没有对这一点施加必要性的缘故，而二楼的问题在于在出解后缺少验证的步骤），而且使用了一般高中生不会接触的洛必达法则（当然这不是二楼的错误，按照二楼的说法，可以说成是高中数学教育的错误），但是其相对直接的思维方式和直接出解的便利，还是很有借鉴意义的。也就是因为二楼，我才会去翻书，学会了一些自己之前不会的技巧。至于接下来的辩论，我很感谢你们的热情，至于谁和谁是同一人也不必去细查，换号参与辩论在百度知道系统有单次发言限制的前提是可以善意理解的，谢谢你们对无论数学还是数学教育问题的关注，至于辩论的用语上，可以平和一些，不要陷于互相诘难吧。

Answer 1

我是一楼的，为了不致让你所指的“楼上还活在50年代的我”所指失效，我就不登录了，来给你讲讲你一些解题过程中存在的问题还有你的错误观点。

1.你解题的过程我没有很仔细地看（原因见下（5）），先指出你解题过程中的错误：
（1）“ax² - x + ln(x+1) = 0
本来是要解此方程，现在已知0是它的解，
这表示当x→0，ax² = x - ln(x+1)”

请注意，当x→0时，x是不等于0的，那么就不能写出ax² = x - ln(x+1)这个等式，你无法保证上面等式两边的两个函数在零点的某个空心邻域内函数值始终相等。这是一个极限过程，所以正确的写法应当是：
当x→0时，lim(ax²) = lim[x - ln(x+1)]。

（2）“lim [x - ln(x+1)]/ax²=1 （x→0） ”
这个结果你是如何得到的呢？事实上，当x→0时，lim(ax²) = lim[x - ln(x+1)]=0，也就是说，ax²和x - ln(x+1)是当x→0时的两个无穷小量，你如何能得到它们是等价无穷小？

（3）“lim [x - ln(x+1)]/ax²
x→0
=lim [1 - 1/(x+1)]/2ax
x→0”
这里你用了洛必达法则。要知道一点，楼主的标题是“高中函数/导数问题
”，这法则高中生是不懂的。而且，我见过太多大学生学习数学的时候也是乱用这法则，根本不注意它成立的条件，试问你能完整说出“洛必达法则”的内容么？我很是怀疑（原因见4）。不过幸运的是，这里你使用洛必达法则的过程并没有什么错误，但是正如（2）中所述，你的前提是有问题的。

（4）举一个你以前回答别人的问题，作为我在（3）中对你提出怀疑的证据：
“已知f(0)=0,f'(0)=2,求下列极限：lim f(3x)/sin2x (x趋近于0)”
你的解答是：
楼上全错了！！
lim f(3x)/sin2x
x→0
=lim [f(3x)]'/(sin2x)'
x→0
=lim 3f'(3x)/2cos2x
x→0
=3f'(0)/2cos0
=3/2

“lim 3f'(3x)=3f'(0) （x→0）”试问这一步你是如何得到的？你是如何知道函数f'是连续的呢？事实上就那题目本身的条件根本就不够，你是为了得出一个答案在做题，懂不？

（5）这里说一下为什么我没有仔细看你的解题过程：请你注意原题中的一个重要条件：“l与曲线y=f(x)有且仅有切点这一个公共点”。而你的解答过程一直是在x=0的邻域内讨论，你如何确定“ω(x)=ax² - x + ln(x+1) ”这函数在整个实轴上只有x=0这一个零点？这是一个函数在R上整体的性质，而不是在x=0的一个小邻域内讨论可以得到的结果。对于“有且仅有切点这一个公共点”这点，你原题中没有做任何交待。

2.我不知道你到底肚里有多少洋墨水，不过请你在解题过程中要么使用中文，要么使用英文，不要把一些很简单的数学表达写一句英文再在后面添加中文解释，你不觉得很可笑么？这里是百度知道，不是你炫耀自己英文的地方。如果是写专业的数学论文，设计到一些翻译不统一或者一些艰深的术语时，请在把你的英文用上。或者你也可以选择直接写纯英文的数学论文。

3.50年前中国根本没什么数学教育可提，如果我是活在50年前而作出了1楼中的答复，那我还真可谓是“先知”了，呵呵。

4.本人从没有我们中国的数学教育比欧美强哦，是你自己没有理解清楚，事实上中国的教育还很落后。拿美国来说，他们的教育模式与中国有很大不同，其根本原因是美国的社会强调“个人价值”的体现，其精神在于“自由”。所以在美国针对每一个中学生的数学教育并不像我们中国这样统一，给了学生比较大的选择空间。中国还是一个发展中国家，数学教育不可能完全照搬美国的，这绝不是仅仅把微积分、微分方程等课程拉到中学阶段教授能简单解决的，这里面涉及教育体制等很多方面的问题。数学最重要的目的是要提高人类对周围环境的“精确”分析，它既是严格的，更是应用的，没有严格的基础就谈不上什么应用，没有应用的潜在可能性再严格也是没有实际意义的（这里的应用不光指在现实生活领域的具体应用，也包括对人类自身认识事物的潜力等发掘的可能性）。所以作为现阶段中学的教育，它更是一种普及式的教育，而不是要把你变成一个数学家，其主旨不应当只定位在教授你多丰富具体的数学知识，同等重要的是要培养一般人有序良好的思维习惯。我们在考虑数学教育改革的问题时这些都是要予以考虑的，这里面涉及到中国具体的国情，而不能一味地“媚外”，毕竟发展是一个过程。

5.简单地说下我为什么不赞成在高中阶段出比较复杂的导数方面的习题的缘故。如今的高中学习了初等函数的性质，研究对象主要是简单初等函数，这里面涉及的主要是R1空间中的代数结构。而极限以及建立在极限理论上的微积分其基础涉及的是R1空间中的拓扑结构。就现阶段的中学教育而言，不适合做过深的引入，有一些简单的感性认识即可。要知道，如今中学绝大多数学生数学基础不怎么样，就现有的课程内容能掌握好已经很不错，所谓的改革必须考虑中国现阶段的教育模式，否则只会越改越乱。你看看自己不注重数学基本功做出的解答有多少值得商榷的地方，自省一下吧。准确地说，我们都该自省。

6.还是一个前提问题请你注意，我不是你老兄，而应该是你大姐。

7.不说了，没什么意思。活在50年代的我对这题目做出了正确的解答，而精通美国高中生AP的BC考卷的你解答却很有点问题，呵呵。有的时候，不是数学能力的问题，而是数学素养的问题。上面的几条应该还是有一半以上说得有一定道理的，呵呵。顺便提一下，我2岁到14岁就是在美国度过的，呵呵。

Answer 2

我也不知道现在高中的课程到底改成什么样了，不过总觉得高中不该讲导数，而应该更注重数学基本功和思维的培养。下面是解题思路，姐姐给你大概讲下。首先通过求导可以得到f'(x)=2ax-2+[1/(x+1)]，于是f'(0)=-1。那么就得到了切线方程为g(x)=-x+1。为了讨论函数f与g的交点，我们令ω(x)=f(x)-g(x)，（x>-1），这样问题转化为讨论ω的零点分布。考察ω'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)+1=x(2ax+2a-1)/(x+1)。当x=0或(1-2a)/2a时，ω'(x)=0。下面分三种情况讨论：1、a=1/2，此时ω'(x)=x^/(x+1)>0，（x>-1且不等于0），那么ω严格递增，于是x=0是ω唯一的零点，切点便是f与切线的唯一交点；2、0<a<1/2，此时ω在[0，(1-2a)/2a]上严格递减，在[(1-2a)/2a，正无穷大)上严格递增，而当x趋于正无穷大时，limω(x)=正无穷大。所以在[(1-2a)/2a，正无穷大)上必存在另一零点。3、可类似2讨论，在(-1，a(1-2a)/2a]上必存在另一零点。综上，满足题目要求的a=1/2。 上面的解答其实用到了函数很重要的一个性质：连续性。但一般高中生很难对这点有足够的认识，这也是为什么我不赞成在高中阶段出比较复杂的导数方面的习题的缘故啦。

Answer 3

楼上还活在50年前！

如果楼上说法正确，那1000年之内科学中心也别想来到咱们的国度！

想当初，小学年年有珠算课，排除珠算课，是何其艰难！

欧美一直是世界科学的中心，看看英联邦，人家初中生的微积分考题，咱们的高中毕业生能行吗？人家高中毕业生要考微分方程，要考回归分析，咱们的高中教师能行吗？看看人家美国高中生AP的BC考卷，咱们高中教师有几个能考及格？？？？无论英国，还是美国，人家初中生就学微积分已经至少半个多世纪啦！咱们的数学不比人家强！而是差很多很多！咱们只比人家的烂学生强！醒醒吧，老兄！

下面回到本题：

已知a>0，f(x) = ax² - 2x + 1 + ln(x+1)，I是曲线y=f(x)在x=0处的切线，若I与曲线y=f(x)有且仅有切点这一个公共点，求a的值。

解答：
dy/dx = 2ax - 2 + 1/(x+1)
dy/dx|(x=0) = [2ax - 2 + 1/(x+1)]|(x=0)
= -2 + 1 = -1
f(0)= 1
Let tangent equation be
(设切线方程为)：
y = - x + c
1 = 0 + c, c = 1
∴ y = - x + 1

Simultaneous Equatins(联立方程)：
y = - x + 1
y = ax² - 2x + 1 + ln(x+1)

ax² - 2x + 1 + ln(x+1) = - x + 1
ax² - x + ln(x+1) = 0
本来是要解此方程，现在已知0是它的解，
这表示当x→0，ax² = x - ln(x+1)

Let(令)
lim [x - ln(x+1)]/ax²=1
x→0

∴
lim [x - ln(x+1)]/ax²
x→0
=lim [1 - 1/(x+1)]/2ax
x→0
=lim x/2a(x² + x)
x→0
=lim 1/2a(2x + 1)
x→0

∴1/2a = 1, a = 1/2

Answer 4

在看不过去了。。一楼的老姐不要生气啦，其实你仔细看看就知道了，2楼的“安克鲁”和4楼5楼6楼8楼的都是同一个人，证据就在下面，回答问题的风格完全一样，你看看就知道了：

无才无貌无权势:
http://zhidao.baidu.com/question/114340261.html

http://zhidao.baidu.com/question/114264650.html

康伯伟:
http://zhidao.baidu.com/question/119646186.html

http://zhidao.baidu.com/question/108965083.html

成光son:
http://zhidao.baidu.com/question/122891832.html

http://zhidao.baidu.com/question/111300307.html

Gir_girl
http://zhidao.baidu.com/question/109409825.html

http://zhidao.baidu.com/question/117677645.html

值得注意的是在http://zhidao.baidu.com/question/122891832.html这个回复里他自己都问别人先多要分再用自己大号回答呢，简直可耻。不过人家也并不是没有一点可取之处啦，毕竟大部分的回答还过得去。一楼的姐姐说话很中要害，一个局部的性质怎么可以推出在整个实数轴上仅有一个交点呢？二楼的回答根本无视了“仅一个交点”这条件，我虽然还是高中生，不过这点还是能看得来的。自己错了就要承认啊，怎么还不停换小号刷人家。我都替你觉得累！太虚荣太假了。。现在的网络坏人真多，小小一片地盘都这么多自大虚荣的人，哎，可悲啊。。。

Answer 5

网上虚伪的人真多!还要一个号开楼提问一个号挑衅别人的解答!这可真是让我长见识了!
你要明白,一个狗尾巴草再装也不会变成花的!你再装着吃了些洋墨水,说些鸟语,也不会造就鸟语花香的!
你感觉人家回答错了,好好说话别吃生米似的没人会指责你爹娘教育失败没人会指责你素质不行!
但是人家一楼一个解答你就跟吃了希望精似的在那上窜下跳你不感觉失去风度了?一会喊人家大姐一会喊人家老兄!敢情你老父母教你大半辈子你男女都不分?还是压根就是个先天一残疾?
看不懂我们这些中国的小老百姓讲话不要紧,但是别攻击老师,别在网络上装熊,再装你也装不出来个人样!懂不?
不懂的话建议你找你妈妈让他把你回炉重新制造一遍,省得你个半成品出来丢人现眼!!