Question

数学题，高数高手请进,求微积分

∫1/1+sinx dx
∫(arctan1/x)/1+x^2 dx
∫x^3/(1+x^2)^(1/2) dx
∫ln(tanx)/sin(cosx) dx

分太少了，但是已经倾其所有啦，很不好意思请大家帮帮忙

Answer 1

第一个：∫1/1+sinx dx

万能代换 t=tan(x/2),
1/(1+sinx)dx=1/(1+2t/(1+t^2))*2t/(1+t^2)dt=2t/(1+t)^2dt=(2/(1+t)-2/(1+t)^2)dt=2ln(1+t)+2/(1+t)+C=2ln(1+tan(x/2)+2/(1+tan(x/2))+C
第二个：∫(arctan1/x)/1+x^2 dx

∫[arctan(1/x)]dx/(1+x²)
=-∫[x²arctan(1/x)]d（1/x）/(1+x²)
=-∫[arctan(1/x)]d（1/x）/（1+1/x²）
=-∫[arctan(1/x)]darctan(1/x)
=-1/2[arctan(1/x)]^2+c

第三个：
∫x^2 * arctanxdx
＝1/3×∫arctanxd(x^3)
＝1/3×x^3×arctanx－1/3×∫x^3/(1+x^2)
＝1/3×x^3×arctanx－1/3×∫(x^3+x-x)/(1+x^2)
＝1/3×x^3×arctanx－1/3×∫xdx＋1/3×∫x/(1+x^2)
＝1/3×x^3×arctanx－1/6×x^2＋1/6×ln(1+x^2)＋C

第四个：不会

Answer 2

万能代换 t=tan(x/2),
1/(1+sinx)dx=1/(1+2t/(1+t^2))*2t/(1+t^2)dt=2t/(1+t)^2dt=(2/(1+t)-2/(1+t)^2)dt=2ln(1+t)+2/(1+t)+C=2ln(1+tan(x/2)+2/(1+tan(x/2))+C
第二个：∫(arctan1/x)/1+x^2 dx

∫[arctan(1/x)]dx/(1+x²)
=-∫[x²arctan(1/x)]d（1/x）/(1+x²)
=-∫[arctan(1/x)]d（1/x）/（1+1/x²）
=-∫[arctan(1/x)]darctan(1/x)
=-1/2[arctan(1/x)]^2+c
第三个：
∫x^2 * arctanxdx
＝1/3×∫arctanxd(x^3)
＝1/3×x^3×arctanx－1/3×∫x^3/(1+x^2)
＝1/3×x^3×arctanx－1/3×∫(x^3+x-x)/(1+x^2)
＝1/3×x^3×arctanx－1/3×∫xdx＋1/3×∫x/(1+x^2)
＝1/3×x^3×arctanx－1/6×x^2＋1/6×ln(1+x^2)＋C

Answer 3

我用另一种的方法来做第一题吧 原式=∫（1-sinx）dx/(cosx)^2=∫(secx)^2+∫d(cosx)/(cosx)^2=tanx-secx+c这个好像还行，