Question

二阶变系数线性微分方程问题，求大神

求详细解答

Answer 1

设t=cosx
则dy/dx=-sinxdy/dt
d^2y/dx^2=(sinx)^2d^2y/dt^2-cosxdy/dt
d^2y/dx^2-cotxdy/dx+(sinx)^2y=(sinx)^2d^2y/dt^2-cosxdy/dt+cosxdy/dt+(sinx)^2y=0
d^2y/dt^2+y=0
y=Asint+Bcost=Asin(cosx)+Bcos(cosx)

追问

怎么想到要这样替换的呢，每次拿到这种题目就很迷茫

追答

设t=f(x)
dy/dx=dt/dx*dy/dt
d^2y/dx^2=(dt/dx)^2d^2y/dt^2+d^2t/dx^2dy/dt
对于d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0，要使换元后均为常系数，则
(dt/dx)^2=n(d^2t/dx^2+p(x)dt/dx)=mq(x)，m，n为常数
可以先解(dt/dx)^2=mq(x)（相对容易）这道题的解就是t=acosx+b
再带入(dt/dx)^2=n(d^2t/dx^2+p(x)dt/dx)，如果有解同时满足两个方程，就可以用这个换元。
不是所有的微分方程都可以通过换元t=f(x)解的。
另外，如果方程中有(dy/dx)^2，可以考虑换元y=f(v)，把方程转化成线性。在二阶线性微分方程中，因为没有(dy/dx)^2，换y是肯定解不出来的。

追问

太感谢啦！如果用t=f(x)的换元是不是需要q(x)是个简单的式子，如果q(x)是ax^2+b这种形式，没法找出一个导数的平方是这个形式吧。如果方便的话，可以帮忙看一下我提的另一道问题嘛，那个也有悬赏金。感觉二阶变系数微分方程的解法太多了，换一道题又不知道怎么解了

追答

二阶变系数微分方程现在还没有找到通用的解法，只能每道题用不同的方法解。这里可以设z=dy/dx+p(x)y，并找到一组p(x),q(x)使得dz/dx+q(x)z=0
所以p(x)+q(x)=4x dp/dx+p(x)q(x)=4x^2-2 把q换成4x-p解第2个方程，可得p=-2tanh2x+2x q=2tanh2x+2x
之后解这两组一阶微分方程可得y=(Ae^2x+Be^-2x)*e^(-x^2)