Question

求解一道数学题

Answer 1

解：（1）根据三角形面积公式：S=AB×AC×sin∠A/2=6×4×sin∠A/2=6√3。

所以：sin∠A=√3/2，∠A=60°。

余弦定理：BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠A=6²+4²-2×6×4×cos60°=36+16-24=28。

BC=2√7。

余弦定理：cosB=（AB²+BC²-AC²）/（2×AB×BC）=（6²+28-4²）/（2×6×2√7）=2/√7=0.7559。

（2）根据题目条件，显然AB=AD=6，因为∠A=60°，故△ABD为正三角形，即∠D=60°，BD=6。

∠CBD=θ，余弦定理：cosθ=（BD²+BC²-CD²）/（2×BD×BC）=（6²+28-2²）/（2×6×2√7）=5/2√7。

cos2θ=2cos²2θ-1=2×（5/2√7）²-1=25/14-1=11/14=0.7857。

Answer 2

如图

Answer 3

（1）SΔABC=(1/2)*AC*AB*sinA
6√3=(1/2)*4*6*sinA
sinA=√3/2
cosA=1/2
根据余弦定理，BC^2=AC^2+AB^2-2*AC*AB*cosA
=16+36-2*4*6*(1/2)
=28
cosB=(BC^2+AB^2-AC^2)/(2*BC*AB)
=(28+36-16)/(2*2√7*6)
=2√7/7
（2）根据正弦定理，CD/sinθ=BC/sinD，AC/sinB=BC/sinA
因为AC=2CD，sinD=sin(A+B+θ)，sinA=√3/2，sinB=√3/√7
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(√3/2)*(2/√7)+(1/2)*(√3/√7)=(3/2)*(√3/√7)
cos(A+B)=√7/14
所以CD/sinθ=BC/sin(A+B+θ)，2CD/(√3/√7)=BC/(√3/2)
sinθ/[sin(A+B)cosθ+cos(A+B)sinθ]=1/√7
(3/2)*(√3/√7)*cosθ+(√7/14)*sinθ=√7*sinθ
3√3cosθ=13sinθ
tanθ=3√3/13
所以cos2θ=(cos^2θ-sin^2θ)/(cos^2θ+sin^2θ)
=(1-tan^2θ)/(1+tan^2θ)
=(1-27/169)/(1+27/169)
=142/196
=71/98