Question

求曲线y=(2x-x^2)^(1/2)与x轴所围成的平面区域绕y轴旋转而成的几何体的体积

如题如图，求大神帮忙

Answer 1

解：y=√(2x-x^2)=√[1-(1-x)^2]; 与x轴的交点，y=0,  √(2x-x^2)=√[x(2-x)]=0,解得：x1=0, x2=2,函数最大值为ymax=1，即（1-x)^2=0时获得。

积分元为πy^2dx=π(2x-x^2)dx。

所求V=π∫（0，2）2x-x^2dx=π(x^2-x^3/3)|(0,2)=π(2^2-2^3/3)=4π/3。

定义：

在空间，一条曲线Г绕着定直线 l旋转一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面。曲线Г叫做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲面的旋转轴，简称为轴。母线上任意一点绕旋转轴旋转的轨迹是一个圆，称为旋转曲面的纬圆或纬线。以旋转轴为边界的半平面与旋转曲面的交线称为旋转曲面的经线。

Answer 2

解：y=√(2x-x^2)=√[1-(1-x)^2]; 与x轴的交点，y=0,  √(2x-x^2)=√[x(2-x)]=0,解得：x1=0, x2=2,函数最大值为ymax=1，即（1-x)^2=0时获得。积分元为πy^2dx=π(2x-x^2)dx（见下图）。

所求V=π∫（0，2）2x-x^2dx=π(x^2-x^3/3)|(0,2)=π(2^2-2^3/3)=4π/3。

Answer 3