Question

求数学大神给出解答过程！

Answer 1

可以用反证法+递推法：

1. 首先证明i=0时，f在（a，b）内至少有一个零点。

   就是用反证法，假设f在（a，b）内没有零点，因此f恒>0或f恒<0，∫f(x)dx必然恒>0或恒<0，这与∫f(x)dx = 0相矛盾，假设不成立，所以f在（a，b）内至少有一个零点。

2. 然后证明i=1时，f在（a，b）内至少有两个零点。

   这个的证明方法就很多了，比如说可以由第一步的结论推导+反证法证明。

   因为∫x^0f(x)dx=0，因此f必有一个零点记为x0（第一步已证明），而∫x^1f(x)dx也=0，假设只有一个零点x0，那么∫x^1f(x)dx - x0 * ∫x^0f(x)dx = ∫(x-x0)f(x)dx ，

   = 0-x0 * 0 = 0

   即∫(x-x0)f(x)dx = 0，而(x-x0)与f(x)或同号或异号

   （因为f(x)只有一个零点x0，即x<x0时f(x)>0，x>x0时f(x)<0；或者x>x0时f(x)>0，x<x0时f(x)<0）

   所以(x-x0)f(x)必然恒>0或恒<0，这与∫(x-x0)f(x)dx = 0相矛盾，因此f至少有两个零点。

3. 递推即证明