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x(dy+dx)/dx+sin(x+y)=0;xd(x+y)/dx=-sin(x+y);d(x+y)/sin(x+y)=-dx/x;积分之得:ln[csc(x+y)-cot(x+y)]=-lnx+lnc=ln(c/x)故得通解 csc(x+y)-cot(x+y)=c/x;代入初始条件 x=π/2,y=0,得c=2/π;故特解为: csc(x+y)-cot(x+y)=2/(πx);或写成:[1-cos(x+y)]=2sin(x+y)/(πx)。
高等数学是指相对于初等数学和中等数学而言,数学的对象及方法较为繁杂的一部分,中学的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。
通常认为,高等数学是由微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括:数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。工科、理科、财经类研究生考试的基础科目。
通常认为,高等数学是由17世纪后微积分学,较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。相对于初等数学和中等数学而言,学的数学较难,属于大学教程,因此常称“高等数学”,在课本常称“微积分”,理工科的不同专业。
文史科各类专业的学生,学的数学稍微浅一些,文史科的不同专业,深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学,可高等数学并不只研究变量。至于与“高等数学”相伴的课程通常有:线性代数(数学专业学高等代数),概率论与数理统计(有些数学专业分开学)。
解:x(dy+dx)/dx+sin(x+y)=0;
xd(x+y)/dx=-sin(x+y);
d(x+y)/sin(x+y)=-dx/x;
积分之得:ln[csc(x+y)-cot(x+y)]=-lnx+lnc=ln(c/x)
故得通解 csc(x+y)-cot(x+y)=c/x;
代入初始条件 x=π/2,y=0,得c=2/π;
故特解为: csc(x+y)-cot(x+y)=2/(πx);
或写成:[1-cos(x+y)]=2sin(x+y)/(πx);
因此齐次方程的通解为:y=(c₁+c₂x)e^(4x);
不难求得方程y''-8y'+16y=x的特解 : y₁*=(1/16)x+(1/32);
设方程y''-8y'+16y=e^(4x)...........①的特解:y₂*=ax²e^(4x)...........②;
y₂*'=2axe^(4x)+4ax²e^(4x)=(2ax+4ax²)e^(4x)............③;
y₂*''=(2a+8ax)e^(4x)+4(2ax+4ax²)e^(4x)=(2a+16ax+16ax²)e^(4x)..........④;
将②③④代入①式并消去e^(4x)得:
(2a+16ax+16ax²)-8(2ax+4ax²)+16ax²=2a=1;∴a=1/2;
即方程①的特解y₂*=(1/2)x²e^(4x);
∴ 原方程的特解:y*=y₁*+y₂*=(1/16)x+(1/32)+(1/2)x²e^(4x);
原方程的通解:y=[c₁+c₂x+(1/2)x²]e^(4x)+(1/16)x+(1/32);
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