Question

高数可导性问题，哪位兄台知道

Answer 1

解：(1)左导数=lim(x→xo-0) [f(x)-f(xo)]/(x-xo-0)=lim(x→xo) [|x-xo|-0]/(x-xo) (因为x<xo)
=lim(x→xo-0) (xo-x)/(x-xo)=-1;
右导数=lim(x→xo+0) [f(x)-f(xo)]/(x-xo+0)=lim(x→xo) [|x-xo|-0]/(x-xo)=lim(x→xo+0) (x-xo)/(x-xo)=1。
因为左导数≠右导数，所以，函数的一阶导数不存在。这是连续函数导数存在的判定方法。
（2）对于函数f(x)=(x-xo)|x-xo|,可以看作是当x>=xo时,f(x)=(x-xo)^2, 当x<xo时f(x)=-(x-xo)^2,
左导数=lim(x→xo-0) [f(x)-f(xo)]/(x-xo)=lim(x→xo-0)[- (x-xo)^2-0]/(x-xo)
=lim(x→xo-0)[- (x-xo)^2]/(x-xo)=lim(x→xo)[- (x-xo)]=0;
右导数=lim(x→xo+0) [f(x)-f(xo)]/(x-xo)=lim(x→xo+0)[ (x-xo)^2-0]/(x-xo)=lim(x→xo) (x-xo)=0; 因为左导数=右导数=0，所以一阶导数存在，f'(x)=-2(x-xo)(x<0时）和f'(x)=2(x-xo)当x>0时。即：f'(x)=2|x-xo|,参考（1）可知：f(x)=(x-xo)|x-xo|一阶导数存在，二阶导数不存在。
（3）同理：结合（2）可知，f(x)=(x-xo)^n|x-xo|，无论n是偶数或是奇数，若f(x)=+/-(x-xo)^(n+1), (x>=xo时），f(x)=-/+(x-xo)^(n+1)（x<xo时）; f^(n)(x)=(n+1)!|x-xo|, 并且f^(n)(xo)=0；当f^(n+1)(x),因左导数≠右导数，不存在。

Answer 2

首先，研究下y= IxI,图像，可知在x=0是个尖点，不可导。y= I x-x0I,相当于y= IxI图像平移，所以，尖点移动到x= x0处，所以，在x0不可导。又x-x0本身是无穷小量，它与绝对值相乘时，不改变其无穷小的阶数，可导次数跟它的次数相等

Answer 3

可导一定连续 连续不一定可导 如果一个函数在某个点根本就不连续 那剩下的都不用看的 导数 微分直接没有 而连续了才有可能有导数 也就是说才可能求导 而求导还要左右导数相等
这样才能说函数在某个点可导

Answer 4

可通过左、右导数来验证。

Answer 5

你这是从复习全书里整理的吗？

追问

嗯嗯

咋啦

追答

你想问什么呢？怎么解释，还是怎么证明

追问

我知道啦，通过左右极限证明，谢谢