Question

无穷级数的收敛半径

主要写一下6题，如果能把7题写了更好，要详细步骤，回答了加分悬赏

Answer 1

6题，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)2(n+2)/(n+3)=2，∴收敛半径R=1/ρ=1/2。
7题，∵e^z=∑(z^m)/(m!)，∴(e^z)/z^n=∑[z^(m-n)]/(m!)。
按照留数的定义，当m-n=-1时，其系数C-1即其留数。
此时，m=n-1，∴Res[(e^z)/z^n,0]=1/[(n-1)!]。
供参考。

Answer 2

R = lim<n→∞>a<n>/a<n+1> = lim<n→∞>2^n(n+3)/[(n+2)2^(n+1)]
= lim<n→∞>(n+3)/[2(n+2)] = lim<n→∞>(1+3/n)/[2(1+2/n)] = 1/2

Answer 3

分开后纷纷回家防腐剂

Answer 4

不是的，并不是所有的泰勒级数都收敛到原函数，考虑到级数收敛的必要条件是n趋于无穷时求和项趋于0，就可以举出问题的反例来。
比如 ln(1+x) 在 x=0 处的泰勒展开为 ∑(1/n)*x^n*(-1)^(n+1) ，显然这个级数的通项在x>1的时候是趋于无穷的，说明级数不收敛。