Question

高中数学：能否不用数学归纳法证明这道题？

Answer 1

令g(x)= lnx - (1- 1/x) ,x>1
g'(x) = 1/x - 1/x² = 1/x (1 - 1/x) >0
g(x)是增函数
∴g(x) > g(1) = 0
即 lnx > 1 - 1/x
分别令x =2,3/2,4/3,……,n/(n-1)
ln2 > 1/2
ln(3/2) > 1/3
ln(4/3) > 1/4
……
ln[n/(n-1)] > 1/n
各式相加得 lnn > 1/2+1/3+.+1/n
即 1+1/2+1/3+.+1/n < 1+ lnn

而Sn趋近1，但肯定<1
所以得证结果（ 1+1/2+1/3+.+1/n ）Sn< 1+ lnn。