Question

已知数列｛An｝是等差数列，Sn是其前n项的和，求证S6，S12-S6,S18-S12也成等差数列。

Answer 1

证明：设数列｛An｝公差为d

则S6=6A1+(6*5)/2*d=6A1+15d
（根据Sn=nA1+n(n-1)d/2）

同理S12=12A1+66d，S18=18A1+153d

∴S12-S6=6A1+51d，S18-S12=6A1+87d

∴(S12-S6)-S6=36d,，(S18-S12)-(S12-S6)=36d

即(S18-S12)-(S12-S6)=(S12-S6)-S6

所以S6，S12-S6,S18-S12也成等差数列

Answer 2

S6=a1+a2+……+a6
S12-S6
=a7+a8+……+a12
=(a1+6d)+(a2+6d)+……＋（a6+6d)
=S6+36d
同理
S18=S12-S6+36d
所以S6，S12-S6，S18-12成等差数列.
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也成等差数列，证明方法一样