Question

一道高数题求助

疑问在图二画框里

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Answer 1

一道高数题：
1…疑问在图二画框里，路径是不可以的。
2、积分与路径无关，仅与起点、终点有关。
本题，起点终点是A,B。
3、选的积分路径必须过A,B两点。你那样的路径是不过A,B两点的，所以，是错误的。

Answer 2

不可以的，从积分的起点与终点看，x的取值范围为-兀/2~+兀/2，你那样达不到此边界值

追问

那为什么这道可以

追答

这个是复连通区域的闭合曲线（椭圆）积分，且奇点在所围区域内，虽然满足格林条件，但积分不一定为0。可在内部用一个辅助小圆（半径足够小）包围该奇点，将小圆与椭圆之间部分环面剪开就成为单连通区域，沿边界积分一周为0，这就证明沿小圆顺时针积分与沿

与沿椭圆逆时针积分值互为相反数，则原积分等于沿小圆逆时针积分

追问

可以这么理解吗，像这道题，封闭曲线内有奇点点，路径不受限制

而第一道题是非封闭的，要严格按照路径来

追答

从残数定理看，解析函数沿封闭曲线的积分等于区域内各点的残数之和，不必看具体路径，只取决于区域内的各点的残数。对于非封闭曲线，保证初、末位置不变且新曲线与原曲线之间没有奇点，则沿原曲线积分也可以转化为沿新曲线积分，两者等值

追问

求解这道题

追答

排除法，ABD选项的左边由对称知正负抵消积分为0而在边不为0，固排除，选C。
直选法，由对称性知C选项左边在第一二三四卦限都为正且相等，而右边积分由于取第一卦限由对称性知可将被积变量x改为y或z均不影响积分值。固选C

追问

为什么D不对，不是偏导数连续就可微吗，D不就说的是偏导数连续吗

追答

D不是你说的偏导数连续之意，这里偏导数（仍然是二元函数）连续应是（0，0）的偏导数值与该处偏导数的二重极限相等，注意二重极限与二次极限是不同的，D选项第一部分实质：在偏导数（二元函数）中先令y=0再求当x趋于0时的极限，得与（0，0）处的偏导数值相等，后面部分则是在偏导数（二元函数）中令x=0，再求y趋于0的极限值与（0，0）处的偏导数值相等，这比二次极限还宽松了，即便满足它也不能保证连续

追问

谢谢

图二第一个画线部分为什么是0，为什么关于XOZ对称就是0呢，如果关于XOY对称呢。 画圈部分代表什么，怎么计算

追答

你画线部分被积函数中的y在关于xoz对称的积分区域上任取值时总存在y互为相反数而真余值相同的情形故该积分正负抵消，若是关于xoy对称则不存在这特点，积分亦不为0。至于你画圈处，意思就是那个半圆面积啊！

半圆面积

追问

投影不是椭圆吗

为什么是半圆

追答

dS指的是面元本身，不是投影！

追问

能说下计算公式吗

追答

利用几何意义，半圆面积公式即可

追问

他这个半圆是谁呀，这不是和半球面吗，没算出来

不太懂到底指的哪

追答

斯托克斯公式是将沿闭合路径积分转化为计算以该路径为边界的曲面（不唯一 、视方便定）积分，曲面的法向量与该闭合线环绕方向成右手系。该半圆具体情况在解答的第一二行已阐明了。

追问

明白了

谢谢