Question

微积分题目？

一道微积分题目:f(x)在区间[a,b]上可导,b>a>0,证:2x(f(b)-f(a))=(b²-a²)f'(x)在（a,b）至少有一个根
目前只学到罗尔定理，应该是要找出一个函数，求大神指点

Answer 1

这题是有两个格拉朗日中值定理的，左右同除以(b-a)，左边可以得到[f(b)-f(a)]/(b-a)，这是f(x)的中值定理，右边可以得到(b^2-a^2)/(b-a)，这是x^2的中值定理，它的导数正好是2x，得正好x^2和f(x)的拉格朗日点一样，才能得到方程的解，而条件中根本无法确定它们的拉格朗日点一致，所以是错题。

Answer 2

微积分公式与运算法则 1.基本公式 （1）导数公式 (2) 微分公式 (xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx (ax)ˊ= axlna d(ax)= axlna dx (logax)ˊ= 1/(xlna) d(logax)= 1/(xlna) dx (sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx (con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx (tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx (cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx (sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2 dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx 2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R） （1） 函数的线性组合积、商的求导法则 （αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ （μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ （μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2 （2） 函数和差积商的微分法则 d（αμ+βυ）= αdμ+βdυ d（μυ）=υdμ+μdυ d（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ2 3.复合函数的微分法则 设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为 dy/dx = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x) 所以复合函数的微分为 dy = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x) dx 由于fˊ[ψ(x)]= fˊ(μ)，ψˊ(x) dx = dμ，因此上式也可写成 dy = fˊ(μ) dμ 由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式 dy = fˊ(μ) dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。

追问

这根本就不是答案哇

Answer 3

一般我们在做不定积分的题目时，如果能对一些常见的函数的原函数、导函数进行熟练掌握，那么我们在解题时就会事半功倍。

Answer 4

这个题目，我已经回答过多次了，下面是完整的解：

2x(f(b)-f(a))=(b²-a²)f'(x)
两边积分：
x²(f(b)-f(a))=(b²-a²)f(x)
x²(f(b)-f(a))-(b²-a²)f(x)=0
定义：
F(x)=x²(f(b)-f(a))-(b²-a²)f(x)
F(a)=a²(f(b)-f(a))-(b²-a²)f(a)
=a²f(b)-a²f(a)-b²f(a)+a²f(a)
=a²f(b)-b²f(a)
F(b)=b²(f(b)-f(a))-(b²-a²)f(b)
=b²f(b)-b²f(a)-b²f(b)+a²f(b)
=a²f(b)-b²f(a)
F(a)=F(b)
根据罗尔定理，有ξ∈（a，b），使得：
F'(ξ)=0
F'(x）=2x(f(b)-f(a))-(b²-a²)f‘(x)
∴2ξ(f(b)-f(a))-(b²-a²)f‘(ξ)=0
2ξ(f(b)-f(a))=(b²-a²)f‘(ξ)
ξ就是满足要求的根。

Answer 5

朋友，您好！是否差条件吧？希望能帮到你解决问题