Question

高中立体几何问题求解！

Answer 1

这题好难，我决定用空间解析几何了^_^

图1 建坐标系，用θ表示B的位置

图2 三棱锥体积∝H到xOy平面距离

图3 求极大值点对应的θ值

图4 正确答案为√2

至于立体几何的方法，我估计还是需要等待其他答主贡献答案吧，我用了解析几何降低了难度，代价是计算过程比较长，欢迎讨论～

追答

这道题极大值点对应的这个角，很特别。arccos(1/3)恰好是正四面体中心到任意两个顶点连线夹角的补角，就是那个著名的角度—109°28′的补角^_^

大概70°31′43″左右

追问

感谢！

追答

客气^～^

不过，平心而论，用解析几何，计算量确实有点儿太大了，可是立体几何的方法，短时间内又看不出来，只好如此了。

Answer 2

利用等体积法转化，设PH=λPB,λ∈（0,1），
VD-CHP=1/2*VA-CHP=1/2*VH-PAC=λ/2*VB-PAC=λ/2*VP-ABC=λ/2*4/3*BC
又BC^2=PB^2-PC^2,
PC^2=PH*PB=λPB^2=8,
得VD-CHP=λ/2*4/3*BC=2/3√（-8λ^2+8λ）,
体积最大时，λ=1/2，
此时BC=2√2,AB=4,DH=2,选A

追问

您在求VP-ABC可能有点错误，以APC为底面的话，BC不是高，ABC是以B为直角顶点的三角形

追答

过程简化了，你没看懂，继续吧

追问

嗯，我在看一下，可是您的最后答案不对和试卷上的答案不一样，试卷上正确答案是根号2

嗯，我在看一下，可是您的最后答案不对和试卷上的答案不一样，试卷上正确答案是根号2

Answer 3

直线 PB、CB都是平面 PBC 内的直线，与面外的直线 AB 相交于公共点 B。这个时候，∠ABC 是 AB 与直线 BC 的夹角，∠ABP 是AB与直线 BP 的夹角。按照你的理解，难道此时 ∠ABP 也是直线 AB 与平面 PBC 的夹角吗？显然你的理解是错误的！
那么，一个面外直线与平面的夹角的定义，是这个直线与它在该平面内的投影所在的直线的夹角。
在题中，过 A 点做 AH⊥面 PBC，H 就是垂点。因此，BH 就是直线 AB 在平面PBC 上的投影。因此，∠ABH 才是直线 AB 与平面 PBC 的夹角。

追问

？？？您能把这道题解题思路说一下嘛，你的回答让我摸不着头脑。